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    从张力角度来解释两个小固体漂浮在液面上会靠近还是远离

    来源:知乎 姜小白71 浏览 69 次 发布时间:2021-07-29

    若两个小固体漂浮在液面上。当两固体均被液体浸润或当它们均不被浸润时,表面张力的作用使相邻两固体相互接近;当一个是被浸润而另一个不被浸润时,表面张力使它们使他们远离。怎样从张力角度来解释?


    这个现象叫做麦片圈效应(或者谷物圈效应,The Cheerios Effect),指的是早上起来泡一桶牛奶麦片,你就会发现,这些麦片要么聚集在一起,要么聚集在杯子边缘。这其实是一个生活中常见的现象,也已经被学术界关注了很多年,相关的研究结果也比较成熟,下面给大家简单介绍一下。

    麦片圈效应中使得麦片相互吸引的因素是麦片之间的横向毛细力(Lateral Capillary Force),横向毛细力可分为吸引力和排斥力,这里表现为吸引力。我们通过一个简单的例子,来说明一下横向毛细力产生的原因。首先考虑单个小球放置在液面上保持平衡,意即在重力的作用下对液面形成一个扰动,此时若液面上存在另外一个小球时,这种扰动会相互叠加,下图中的液面便是最终的扰动状态。

    从能量的角度来看,液体表面能并不是由独立放置单个小球时液面表面能的简单相加,还要加上一项因另外一个小球存在时的相互表面能,其与小球之间的距离直接相关。这种相互表面能表现为沿小球连线方向的横向毛细力。


    如果从力的角度来看,两个小球对液面的扰动使得水压不再对称,算上表面张力,可知小球会受到一个横向力,即横向毛细力,所以要计算它的大小,思路上很简单,积分表面张力和压强就可以了。但具体操作下来,先是线性化Young-Laplace方程,然后在双极坐标系下进行积分,整个过程还是蛮复杂的,有兴趣的同学可以挑战一下自我。

    具体过程大家可以阅读文末的参考文献,这里直接给出在小颗粒和液面小变形下假设下,两小球之间横向毛细力的表达式,


    当F<0时,横向毛细力表现为吸引力;F>0时则表现为排斥力。


    因为表达式中其他参数都为正数,那么我们只需关注的正负,此时你们应该理解了为什么称为毛细电荷,这其实是在做静电学的类比。再看毛细电荷的表达式,其实只需要判断的正负,就能知道横向毛细力是吸引力还是排斥力了。表示接触线处液面切线的倾斜角,定义其往下为正。至此,我们就可以总结一些结论了。

    上图便是水上两个漂浮小球的吸引与排斥的判断方法。值得注意的是,我们这里并没有提及小球的浸润性,也就是说,浸润性与横向毛细力的性质并不直接相关。实际上,横向毛细力还可以分为漂浮横向毛细力和浸没横向毛细力。我们讨论的情况是漂浮横向毛细力,由小球的重力引起,题主的所说的浸润性应该换为小球的轻重(与水相比)。例如图(a)里是两个比水重的小球,表面张力将其往上拉。图(b)是两个比水轻的小球,表面张力将其往下拉。表面张力的方向恰好就对应了前述接触线处液面的倾斜角。题主的所要表达的意思其实是:


    为什么漂浮在液面上的两固体,均比水重或均比水轻时表面张力使之相互接近;一个比水重一个比水轻时相互远离?


    当然我觉得没有必要修改题主的描述,这看起来也是一种很直观的描述,可能浸润性这个词也更容易吸引他人的关注。但实际上,与浸润性相关的是浸没横向毛细力,表现在小球浸没在一层液膜里,如下图所示,我们可以使用同样的方法对小球之间的吸引和排斥进行判断。

    这里还不能忘记另外一个问题,即麦片也会在杯子边缘聚集,这指的是麦片与固壁的相互作用。如果稍微拓展一下上面的方法,就可以解释这个现象。但这里有一个更为简单的解释方法。

    如上图(a),对于比水轻的小球,它更容易上浮,但小球受到液面约束,便会沿着液面上浮远离固壁。在图(b)中,小球比水重,它更容易下沉,在水面的约束下,便沿着液面下滑远离固壁。至此,麦片圈效应的原理便得到了完全的解释。下面拿几个例子来练练手。这是某中学学生所做的实验,来源于这个网站(科学小实验)。


    实验一:将小段竹筷(比水轻)和图钉(比水重)撒入水中,观察它们的行为。

    我们的结论是两个比水重的颗?;蛘弑人岬目帕=嵯嗷ノ?,一个比水重的颗粒和一个比水轻的颗粒将会相互排斥,实验结果与我们的分析一致。


    实验二:玻璃杯装水未满,放入图钉与竹筷,然后加水注满,至液面上凸。下面为实验结果。

    开始时,在玻璃杯壁面处,由于玻璃杯的亲水性,水面远离杯壁时逐渐下降,那么比水轻的竹筷将会沿着水面上浮靠近杯壁,比水重的图钉将会沿着水面下滑远离杯壁。当加满水后,水面远离杯壁时逐渐上升,那么比水轻的竹筷将会上浮到水面顶部,比水重的图钉将会下滑到杯壁处,该分析同样与实验结果一致。


    至于具体的实验细节,大家可以参考上述网站。怎么样,是不是也想动手操作一番?


    我强调一下,漂浮颗粒之间的毛细作用是由重力引起,与浸润性无关。另一种与浸润性有关的毛细作用我在原文中有提及。不过为了更好地阐述,我举个特殊的例子吧。

    上图中两亲水颗粒应该是相互吸引(图中的接触角都小于90°),若根据所谓的接触面一凹一凸说法则两颗粒应该互相排斥,自相矛盾!我把下面Kralchevsky et al文章中的摘要贴出来吧。

    这里写的也比较清楚,漂浮颗粒之间的毛细作用由重力引起,其他的情况则是由颗粒的浸润性导致。如果有人还有疑问的话,欢迎留言讨论。


    【参考文献】

    【1】Vella,D.,&Mahadevan,L.(2005).The“cheerios effect”.American journal of physics,73(9),817-825.

    【2】Kralchevsky,P.A.,&Nagayama,K.(2000).Capillary interactions between particles bound to interfaces,liquid films and biomembranes.Advances in colloid and interface science,85(2-3),145-192.

    【3】Pelesko,J.A.(2007).Self assembly:the science of things that put themselves together.Chapman and Hall/CRC.

    【4】赵亚溥.表面与界面物理力学.北京:科学出版社,2012.

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